デフォルトで入っているアプリの中に、「メール」というものがあります。（EメールともGmailとも別です。）
いまどきのアンドロイドには普通に付いているものなのか、InfoBar A02 独自の仕様なのかは知りませんが、少なくともIS01にはデフォルトでは無かったものです。ちなみに、IS01はアンドロイド1.6で、Infobar A02 は4.1。隔世の感があります。
この「メール」は、複数のメールアカウントを設定できるようなので、試しにMicrosoft の「@live.jp」アカウントを登録してみました。
と こ ろ が ・ ・ ・
受信ボックスには多くのメールがあるはずなのに、ごく最近のものしか表示されません。
別に、アカウントを「メール」に登録して以降に受信したものだけ、というわけでもないようです。
あれこれいじっているうち、答えが見つかりました。
（画面右上隅の）メニュー＞設定＞同期、送受信＞設定の同期＞メールの同期設定
という設定項目にて、直近３日分のメールだけ同期するように設定されていたのです。
メールサーバーとの同期を早めるための考慮でしょうが、知らないと「おかしいな？」と思ってしまいます。
なお、設定の選択肢とてしては １日、３日（デフォルト）、７日、１４日、３０日、すべて があります。